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二重积分的概念与性质77857

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第3章 重积分 3.1 二重积分的概念与性质 3.2 二重积分的计算 3.3 二重积分的应用 3.4 三重积分的概念及直角坐标系下的计算 3.5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 3.6 重积分的换元法 3.7 三重积分的应用 3.1 二重积分的概念与性质 一、 问题的提出 二、 二重积分的概念 三、 二重积分的性质 一、问题的提出 1.曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积× 高 特点:*顶. z?f(x,y) D 柱体体积=? 特点:曲顶. 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法,如下动画演示. #(21) 幻灯片 21播放 步骤如下: 先分割曲顶柱体的底,z 并取典型小区域, z?f(x,y) 用若干个小* 顶柱体体积之 和*似表示曲 顶柱体的体积,x 曲顶柱体的体积 o D ? n ?? i ? V?lim ?? 0i?1 f(?i,?i)??i. y (?i ,?i ) 2.求*面薄片的质量 设 有 一 * 面 薄 片 , 占 有 xo 面 上 y 的 闭 区 域 ? D , 在 点 (x ,y)处 的 面 密 度 为 (x ,y), 假 定 ?(x ,y)在 D 上 连 续 , * 面 薄 片 的 质 量 为 多 少 ? 将薄片分割成若干小块, y 取典型小块,将其*似 ? (?i,?i ) 看作均匀薄片, 所有小块质量之和 *似等于薄片总质量 ?? i o n x ? M?l?? i0m i?1?(?i,?i)??i. 二、二重积分的概念 定义 设 f (x, y)是有界闭区域 D 上的有界 函 数 , 将 闭 区 域 D 任 意 分 成 n 个 小 闭 区 域 ?? 1 , ?? 2 , ?,?? n,其中?? i 表示第i 个小闭区域, 也 表 示 它 的 面 积 , 在 每 个 ?? i 上 任 取 一 点 (? i ,? i ) , 作乘积 f (? i ,? i ) ?? i , (i ? 1,2,? , n) , n 并作和 ? f (? i ,? i )?? i , i?1 如果当各小闭区域的直径中的最大值? 趋*于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 f (x, y)在闭区域D 上的二重积分, 记为?? f (x, y)d? , D n 即?? D f ( x, y)d? ? lim? ??0 i?1 f (?i ,?i )?? i . 积被 积 分积 分 区函 变 域数 量 被面 积积 积 表元 分 达素 和 式 对二重积分定义的说明: (1 ) 在 二 重 积 分 的 定 义 中 , 对 闭 区 域 的 划 分 是 任 意 的 . (2 )当 f(x ,y )在 闭 区 域 上 连 续 时 , 定 义 中 和 式 的 极 限 必 存 在 , 即 二 重 积 分 必 存 在 . 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积. 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的 负值. 在直角坐标系下用* y 行于坐标轴的直线网来划 分区域D, 则面积元素为 d??dxdy o 故二重积分可写为 D x ??f(x,y)d????f(x,y)dxdy D D 三、二重积分的性质 (二重积分与定积分有类似的性质) 性质1 性质2 当k为常数时, ?k ?(x f,y)d ?? k?f?(x,y)d ?. D D ?[?f(x,y)?g(x,y)d ]? D ??f?(x,y)d???g ?(x,y)d?. D D 性质3 对区域具有可加性 (D ?D 1?D 2) ?f? (x ,y )d ?? ?f? (x ,y )d ?? ?f? (x ,y )d ?. D D 1 D 2 性质4 若 ?为D的面积,????1?d????d?. D D 性质5 若在D上 f(x ,y )? g (x ,y ), 则有 ??f(x,y)d???g ?(x,y)d?. D D 特殊地 ??f(x,y)d????f(x,y)d?. D D 性质6 设 M 、 m 分 别 是 f(x,y)在 闭 区 域 D上 的 最 大 值 和 最 小 值 , ?为 D的 面 积 , 则 m ????f(x,y)d??M ? D (二重积分估值不等式) ? 性质7 设 函 数 f(x ,y)在 闭 区 域 D 上 连 续 ,为 D 的 面 积 , 则 在 D 上 至 少 存 在 一 点 (?,?)使 得 ??f(x,y)d??f(?,?)?? D (二重积分中值定理) ?? 例1 不作计算,估计I ? e(x2?y2)d?的值, D 其中D是椭圆闭区域:ax22 ?by22 ?1 (0?b?a). ? 解 区 域 D 的 面 积 ? ab? , 在 D 上 ? 0 ? x 2 ? y 2 ? a 2 , ? 1?e0?ex 2? y2?ea 2, ?? ? ? ? 由 性 质 6知? e d (x2?y2) ? ?ea2, D ?? ab?? ? e d (x2?y2) ?ab?ea2. D ?? 例2 估计I? d? 的值, D x2?y2?2xy?16 其中D:0?x?1, 0?y?2. ? 解 ?f(x,y)? 1 , (x?y)2?16 区 域 面 积 ? 2 , 在D上f (x, y)的最大值 M?1 (x?y?0) 4 f(x ,y )的 最 小 值 m? 1 ?1 (x?1 ,y?2) 32?42 5 故2?I ?2 ? 0 .4 ? I ? 0 .5 . 54 例 3判 断 ?l?n x 2? (y 2 )dx 的 符 d 号 .y r? x ? y? 1 解 当 r ? x ? y ? 1 时 , 0 ? x 2? y 2? (



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